22 February 2019

Olimpiade Sains Nasional Matematika Tingkat SMA Tahun 2002


Soal 1. Buktikan bahwa $n^4 - n^2$ habis dibagi oleh 12 untuk sebarang bilangan bulat $n>1$.

Soal 2. Lima buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu hasil kali kelima angka yang muncul akan dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali 180 atau hasil kali 144?

Soal 3. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan

$x+y+z=6$

$x^2+y^2+z^2=12$

$x^3+y^3+z^3=24$

Soal 4. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC>BC$. Pada lingkaran luar segitiga $ABC$ terletak titik $D$ yang merupakan titik tengah busur $AB$ yang memuat titik $C$. Misalkan $E$ adalah titik pada $AC$ sehingga $DE$ tegak lurus pada $AC$. Buktikan bahwa $AE=EC+CB$.

Soal 5. Sembilan dari sepuluh bilangan berikut: 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 16, 18, 19; akan diisikan ke dalam petak kosong pada tabel 3 x 5 di bawah ini. Sesudah semua petak terisi, jumlah bilangan pada setiap baris akan sama. Demikian pula halnya jumlah bilangan pada setiap kolom akan sama. Tentukan semua pengisian petak yang mungkin.


Soal 6. Tentukan semua bilangan prima $p$ yang membuat $4p^2 + 1$ dan $6p^2 + 1$ keduanya bilangan prima.

Soal 7. Misalkan $ABCD$ sebuah belah ketupat dengan $\angle A = 60^{\circ}$ dan $P$ adalah titik potong kedua diagonal $AC$ dan $BD$. Misalkan $Q,R,S$ adalah tiga titik pada keliling belah ketupat. Jika $PQRS$ juga membentuk belah ketupat, tunjukkan bahwa tepat satu di antara $Q,R,S$ berimpit dengan titik sudut belah ketupat $ABCD$.